71- Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a

a) 1/7.

b) 1/3.

c) 2/3.

d) 5/7.

e) 4/7.

71) Probabilidade

Observe que Carlos estima que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7

Logo, P(A) = 3/7, onde A = probabilidade de Ana estar hoje em Paris.

Ele estima ainda que, a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7

Logo, P(B) = 2/7, onde B = probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris.

Carlos estima que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7

Logo, P(AÇB) = 1/7, onde AÇB = probabilidade de Ana e Beatriz estarem hoje em Paris.

Sabendo, pelo telefonema, que Ana está hoje em Paris, qual a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris.

A questão se resolve através do conceito de Probabilidade Condicional, definida da seguinte forma:

P (X/Y) = probabilidade de que ocorra o evento X tal que já ocorreu o evento Y = P (XÇY)/P(Y)

Logo substituindo X por B, ou seja, probabilidade de Beatriz estar em Paris e substituindo Y por A, ou seja, probabilidade de Ana estar em Paris, tem-se:

P (B/A) = probabilidade de que Beatriz esteja hoje em Paris tal que Ana já esteja hoje em Paris

P (B/A) = P (BÇA)/P(A) = 1/7 / 3/7 = 1/7 x 7/3 = 1/3

ALTERNATIVA B

 

a) 15.

b) 20.

c) 25.

d) 45.

e) 30.

 

72) Funções

Imagine os símbolos dados na prova como se fossem os símbolos representativos da função,
observe:

 

x = f(x) = 1/x (inverso do número)

3 = f(3) = 1/3

1/2 = f(1/2) = 1/1/2 = 2

x = p(x) = 3x³

3^2/3 = p(3^2/3) = 3(3^2/3)³ = 3.3² = 3.9 = 27

 

logo a expressão será igual a:

27 - (Ö2)² = 27 - 2 = 25

ALTERNATIVA C

a) 2.

b) 1/2.

c) 3.

d) 1/3.

e) 1.

 

73) Matrizes

Matriz produto =

Alguns alunos ficaram tentados a resolverem toda a multiplicação das matrizes (AxB) para, então, descobrir a matriz transposta (AxB)^t e finalmente achar a razão entre x₃₁ e x₁₂. Mas o aluno atento percebe que tal trabalho é desnecessário, basta achar o valor de x₁₃ e x₂₁ da matriz produto e estes são os elementos da matriz transposta que precisamos, lembrando que na matriz transposta o que era linha passa a ser coluna, e também, o que era coluna passa a ser linha, logo:

 

X₁₃ da matriz produto =  x₃₁ da matriz transposta

X₂₁ da matriz produto =  x₁₂ da matriz transposta

 

Mas X₁₃ da matriz produto = elementos da 1^ª linha x elementos da 3^ª coluna = 1x4+4x3 = 4+12 = 16

e X₂₁ da matriz produto = elementos da 2^ª linha x elementos da 1^ª coluna = 2x1+6x1 = 2+6 = 8

 

Logo, o valor da razão entre x₃₁/x₁₂ da matriz transposta = razão x₁₃/x₂₁ da matriz produto = 16/8 = 2

ALTERNATIVA A 

 

a) 1.

b) 3.

c) 4.

d) 2.

e) 6.

 

74) Matrizes

A questão tinha grande chance de cair novamente, uma vez que já tinha sido cobrada em diversos concursos anteriores elaborados pela ESAF

Sendo S a matriz soma das matrizes A e B, logo S = A + B

Desse modo qualquer elemento de S é a soma dos elementos de A e B, ou seja:

s_ij = a_ij + b_ij

O que se deseja é conhecer a razão entre os elementos s₂₂ e s₁₂, logo, tenho que calcular:

s₂₂ = a₂₂ + b₂₂

s₁₂ = a₁₂ + b₁₂

Mas:

a₂₂ = 2² + 2² = 4 + 4 = 8

b₂₂ = 2² = 4

a₁₂ = 1² + 2² = 1 + 4 = 5

b₁₂ = 1² = 1

E, s₂₂ = a₂₂ + b₂₂ = 8+4 = 12

s₁₂ = a₁₂ + b₁₂ = 5+1 = 6

A razão s₂₂ /s₁₂ = 12/6 = 2

ALTERNATIVA D

 

75- Um sistema de equações lineares é chamado "possível" ou "compatível" quando admite pelo menos uma solução; é chamado de "determinado" quando a solução for única, e é chamado de "indeterminado" quando houver infinitas soluções. Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que

a) se m¹0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.

b) se m=0, o sistema é impossível.

c) se m=6, o sistema é indeterminado.

d) se m¹0 e a¹2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.

e) se m¹0 e m¹6, o sistema é possível e determinado.

 75) Equações Lineares

O sistema é formado por duas equações em que a e b são as incógnitas, e para analisar o sistema acima é interessante verificar cada uma das alternativas, a saber:

a) se m¹0 e a=2 teremos:

ma + 3mb = 0 logo 2m +3mb = 0 (esta equação fica resultando que b = -2/3)

2a + mb = 4 logo 4 + mb = 4 então mb = 0 (nesta equação se m¹0 logo b será igual a zero), observe que os valores de b que satisfazem cada equação não batem e nunca poderíamos afirmar que qualquer b satisfaz o sistema.

b) se m=0 teremos:

ma + 3mb = 0 logo 0 + 0.b = 0 (a equação se verifica para qualquer b)

2a + mb = 4 logo 2a = 4 então a = 2 (a equação se verifica para a = 2), este sistema é possível indeterminado (infinitas soluções)

c) se m=6 logo:

ma + 3mb = 0 logo 6a + 18b = 0

2a + mb = 4 logo 2a + 6b = 4 (observe que a segunda equação é múltipla da primeira, exceto quanto ao termo independente, ou seja, 3 x (2a + 6b = 4) = 6a + 18b = 12, mas na primeira equação 6a + 18b = 0, o que torna o sistema impossível.

d) se m¹0 e a¹2

ma + 3mb = 0

2a + mb = 4 logo 2a + 6b = 4

Já vimos, pela alternativa anterior, que se o sistema tiver m=6 (o que pode ser afirmado pois m é diferente de zero) ele fica impossível, neste caso não se pode afirmar que qualquer b satisfaz o sistema.

e) se m¹0 e m¹6

Ai sim, quando m = 0 o problema tem infinitas soluções, (possível determinado); quando m = 6 o problema é impossível, portanto, quando m¹0 e m¹6 o sistema passa a ser possível e determinado.

ALTERNATIVA E

Espero ter auxiliado

Boa sorte nos estudos

Prof. Vilson Augusto Cortez