Curso Aprovação

Antes de iniciar nossa nova aula, quero desde já convidar os alunos do Curso Aprovação – Unidade Curitiba - para poderem ser apresentados a disciplina Matemática Financeira na forma como, provavelmente, a veremos na prova de Auditor Fiscal da Receita Federal de 2004.

Na realidade, convido os colegas que mesmo bem preparados precisam ter a certeza de tirar a nota 10 (ou seja, acertar todas as questões), nesta disciplina, pois estamos conversando com candidatos profissionais.

Para os colegas que ainda tem alguma ou muita dificuldade na disciplina vamos tentar sanar as dúvidas e apresentar os tópicos que deverão ser cobrados pela ESAF.
O convite é para este fim de semana, dias 03 e 04 de julho, onde além de inúmeras questões que serão resolvidas, teremos um simulado com questões inéditas, para que os alunos possam se preparar de forma bastante efetiva para a prova.
Um grande abraço, bons estudos e um até breve...

Professor Vilson Augusto Cortez

NOMENCLATURA BÁSICA – AULA 2

Ainda no estudo da Matemática Financeira é possível perceber a primeira, e com certeza, mais importante divisão da disciplina que é saber de que forma os juros estão sendo calculados, ou seja, se os juros são simples ou compostos. Para isto devemos conhecer o conceito de Regime de Capitalização, a saber:

1.7) REGIME DE CAPITALIZAÇÃO
Até este ponto estudamos o juro durante uma unidade de tempo e desenvolvemos uma fórmula para este Juro (lembre-se que J = C.i).

Na prática, porém, os problemas envolvem vários períodos de aplicação e, portanto, precisaremos estudar a geração dos juros durante mais de uma unidade de tempo.
Chamaremos de regime de capitalização a maneira como os juros, e por que não, o montante evolui através de vários períodos de aplicação, aos quais a taxa se refere. Existem dois tipos de regime de capitalização:

1.7.1) Regime de Capitalização Simples
É o regime de capitalização em que a taxa de juro incide somente e sempre sobre o capital inicial. Portanto, em todos os períodos de aplicação, os juros serão sempre calculados através do produto do capital inicial pela taxa de juro (J = C.i).

Exemplo:
a) Seja a aplicação de um capital de $100,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização simples. Calcule os juros totais e o montante?

Solução:
Sabemos que o regime é de capitalização simples e que C = $100,00 e i = 10% a.m. Então no fim do primeiro mês teremos:
J1 = C.i logo J1 = 100. 10%
J1 = $10,00
No fim do segundo mês teremos:
J2 = C.i logo J2 = 100. 10%
J2 = $10,00
No fim do terceiro mês teremos:
J3 = C.i logo J3 = 100. 10%
J3 = $10,00

Logo, os juros totais poderão ser calculados através da soma dos juros em cada período (mês):
J = J1+ J2+ J3
J = 10 + 10 + 10
J = $30,00

O montante (M) será o capital acrescido dos juros totais, isto é:
M = C + J
M = 100 + 30
M = $130,00

1.7.2) Regime de Capitalização Composta
É o regime de capitalização em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no período anterior, para gerar juro no período atual. Portanto, em cada período de aplicação, os juros serão calculados através do produto do montante do período anterior pela taxa de juro. (J = M.i)

Um exemplo simples de capitalização composta é o da Caderneta de Poupança, onde você deposita seu dinheiro em um mês esperando que no final do primeiro mês a mesma já apresente um montante igual ao capital inicial mais os juros, que foram gerados sobre o capital inicial (este era o único montante anterior), observe que a partir do primeiro mês, mesmo que você não deposite nada na caderneta de poupança, o dinheiro lá existente vai rendendo juros sobre o capital inicial e sobre os juros que já estão na conta, sendo este processo conhecido como juros sobre juros, ou juros compostos, ou mesmo capitalização composta.

Exemplo:
b) Seja a aplicação de um capital de $100 a taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização composta. Calcule os juros totais e o montante?

Solução:
A situação é análoga a do exemplo anterior, sendo que o regime agora é de capitalização composta, C = $100,00 e i = 10% a.m.
Até o fim do primeiro mês temos uma unidade de tempo, logo, o juro em um mês será:
J1 = C.i logo J1 = 100 . 10%
J1= $10,00
M1 = C + J = 100 + 10
M1 = $ 110,00

Para formar o juro do segundo mês, a taxa de juro incidirá sobre o montante do fim do primeiro mês. Logo:
J2 = M1.i logo J2 = 110 . 10%
J2 = $ 11,00
E o montante do segundo mês será:
M2 = C + J1 + J2
M2 = 100 + 10 + 11
M2 = $ 121,00

Para formar o juro do terceiro mês, a taxa de juro incidirá sobre o montante no fim do segundo mês. Então:
J3 = M2.i
J3 = 121 . 10%
J3 = $12,10
E o montante ao final do terceiro mês será:
M3 = C + J1 + J2 + J3
M3 = 100 + 10 +11 +12,10
M3 = $133,10
A soma dos juros totais será de:
J = J1+ J2+ J3
J = 10 + 11 + 12,10
J = $ 33,10

1.7.3) Comparação entre os Regimes de Capitalização Simples e Composta
De acordo com os exemplos anteriores, referentes à capitalização simples e composta, os resultados obtidos foram dispostos na tabela seguinte de forma a permitirem uma melhor comparação:

	Capitalização	Simples	Capitalização	Composta
Período de tempo	Juros	Montante	Juros	Montante
1º ano	10	110	10	110
2º ano	10	120	11	121
3º ano	140	130	12,10	133,10

Observações:
=> Independentemente do regime de capitalização, o aluno pode reparar que o juro e o montante obtidos ao final do primeiro mês de capitalização serão sempre os mesmos. Daí se pode concluir que ao considerarmos um período único de tempo, não há diferença entre os regimes de capitalização, não havendo sentido em se distinguir, para apenas um período, a capitalização simples da capitalização composta. Isto se dá por que ao final do primeiro período os juros compostos são calculados sobre o montante do período anterior, que neste momento é o capital inicial, ficando igual ao cálculo dos juros simples.

Veja:
J = M.i = C.i (para o primeiro período). => Observe ainda que, no regime de capitalização simples o montante aumenta de acordo com uma progressão aritmética, onde o montante sofre uma variação linear em relação aos juros (no exemplo, a razão é 10, ou seja, a cada período o montante sobe de um valor constante e igual a 10). Já no regime de capitalização composta, o montante varia de acordo com uma progressão geométrica, onde o montante aumenta segundo uma variação exponencial em relação aos juros, sendo que a razão da progressão geométrica é dada por ( 1 + i ) = (1,10). Desse modo, em se tratando de juros ou rendimentos lineares ou proporcionais estamos falando do regime de capitalização simples e em se tratando de juros ou rendimentos exponenciais estamos falando do regime de capitalização composta.=> Será adotada a convenção de que os juros serão devidos ao final de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada. Esta forma de se capitalizar os juros é também conhecida como juros postecipados.

Agradeço a atenção de todos e espero estar auxiliando no entendimento da disciplina, próxima aula teremos o fluxo de caixa.

Até logo

Professor Vilson Augusto Cortez